帽子矩阵是幂等矩阵的证明

『壹』 幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩的证明

设n阶幂等A特征值为t，对应特征向量为x，秩R(A)=r
Ax=tx A^2x=tAx=t^2x=tx t^2-t=0 t=1或0
若r=n A有n个不为零的特征值 t=1 矩阵的迹=所有特征值之和=n*1=n=r
若r<n A有r个不为零的特征值,n-r个为零的特征值 其中不为零的特征值取t=1
矩阵的迹=所有特征值之和=r*1+(n-r)*0=r
综上所诉，证毕。

『贰』 如何证明幂等矩阵一定可以对角化

A2=A 可以x2-x=0看做A的一个零化多项式，再由无重根就可得到该矩阵可对角化。

幂等矩阵的运算方法：

1）设 A₁，A₂都是幂等矩阵，则(A₁+A₂) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂ =A₂·A₁=0，且有：R(A₁+A₂) =R (A₁) ⊕R (A₂)；N(A₁+A₂) =N(A₁)∩N(A₂)；

2）设 A₁， A₂都是幂等矩阵，则(A₁-A₂) 为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂=A₂·A₁=A₂，且有：R(A₁-A₂) =R(A₁)∩N (A₂)；N (A₁- A₂) =N (A₁)⊕R (A₂)；

3）设 A₁，A₂都是幂等矩阵，若A₁·A₂=A₂·A₁，则A₁·A₂为幂等矩阵，且有：R (A₁·A₂) =R(A₁) ∩R (A₂)；N (A₁·A₂) =N (A₁) +N (A₂)。

(2)帽子矩阵是幂等矩阵的证明扩展阅读：

幂等矩阵的其他性质：

1.幂等矩阵的特征值只可能是0，1；

2.幂等矩阵可对角化；

3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)；

4.可逆的幂等矩阵为E；

5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵；

6.幂等矩阵A满足：A(E-A)=(E-A)A=0；

7.幂等矩阵A：Ax=x的充要条件是x∈R(A)；

8.A的核N(A)等于(E-A)的列空间R(E-A),且N(E-A)=R(A)。

『叁』 如何证明幂等矩阵可相似对角化

证明幂等矩阵可相似对角化：n级矩阵A可对角化＜=＞A的属于不同特征值的特征子空间维数之和为n。

先求特征值，如果没有相重的特征值，一定可对角化；设A₁，A₂都是幂等矩阵，则（A₁+A₂）为幂等矩阵的充分必要条件为：A₁·A₂=A₂·A₁=0，且有：R（A₁+A₂）=R（A₁）⊕R（A₂）；N（A₁+A₂）=N（A₁）∩N（A₂）。

性质

幂等矩阵的主要性质：

1、幂等矩阵的特征值只可能是0，1。

2、幂等矩阵可对角化。

3、幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩，即tr(A)=rank(A)。

4、可逆的幂等矩阵为E。

5、方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵。

『肆』 帽子矩阵具体形式是什么 百度百科

帽子矩阵又叫帽变换又叫K-T变换（Kautlr-Thomas Transformation）穗帽变换是指根据经验确定的变换矩阵将图像投影综合变换到三维空间，其立体形态形似带缨穗的帽子，变换后能看到穗帽的最大剖面，充分反映植物生长枯萎程度、土地信息变化，大气散射物理影响和其它景物变化程度的一种线性特征变换的图像处理方法。穗帽变换（又称KT变换）是一种特殊的主成分分析，和主成分分析不同的是其转换系数是固定的，因此它独立于单个图像，不同图像产生的土壤亮度和绿度可以互相比较。随着植被生长，在绿度图像上的信息增强，土壤亮度上的信息减弱，当植物成熟和逐渐凋落时，其在绿度图像特征减少，在黄度上的信息增强。这种解释可以应用于不同区域上的不同植被和作物，但穗帽变换无法包含一些不是绿色的植被和不同的土壤类型的信息。总体上穗帽变换能够较好的分离土壤和植被。他的一个缺点是她依赖于传感器（主要是波段），因此其转换系数对每种遥感器是不同的。

『伍』 怎么证明幂等矩阵（A^2=A）的特征值只能为0或1

具体回答如图：

若A为方阵，且A²=A，则A称为幂等矩阵。例如，某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩阵。实际上，由Jordan标准型易知，所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。

(5)帽子矩阵是幂等矩阵的证明扩展阅读：

如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。

若A是幂等矩阵，则与A相似的任意矩阵是幂等矩阵；若A是幂等矩阵，则A的AH、AT、A*、E-AH、E-AT都是幂等矩阵。

若是的属于的特征向量，则也是对应于的特征向量，因而特征向量不能由特征值惟一确定。反之，不同特征值对应的特征向量不会相等，亦即一个特征向量只能属于一个特征值。

『陆』 帽子矩阵的迹为什么是p+1

帽子矩阵Hat matrix
帽子矩阵是回归分析中根据数据计算得到一个矩阵. 设线性回归模型的数据矩阵为, 那么称下列矩阵
为帽子矩阵; 其中为矩阵的转置矩阵. 容易验证, 帽子矩阵为一个投影矩阵.
If z is any n× 1 vector, and H is a
hat matrix, then
z = Hz + (I − H)z = z1+ z2,
say, where z1⊥ z2. The first is in col(X)
and the second is in the space of vec-
tors orthogonal to every vector in col(X). We
write z2∈ col(X)⊥. You should verify that
this is a vector space (i.e. is closed under ad-
dition and scalar multiplication).

『柒』 如果方阵A^2=A,则称A是幂等矩阵，设A、B均为幂等矩阵，证明:A+B是幂等矩阵的充要条

因为A，B是幂等的
若AB=-BA
(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A+B
故A+B是幂等的

若A+B是幂等的
A+B=(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A+B+AB+BA
故AB+BA=0
命题成立

『捌』 什么是帽子矩阵（hat matrix）

对于线性模型Y=Xβ+e,E(e)=0,cov(e)=σ2I，矩阵H≙...X（XTX）-1XT是将观测向量Y正交投影到由X的列向量所生成的子空间上的投影矩阵。Y^＝HY，习惯上称H为帽子矩阵。

『玖』 试证:如果A是幂等矩阵,即A^2=A,则秩(A) 秩(A-E)=n

你好！可以引用两个关于秩的定理如图证明。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

『拾』 幂等矩阵证明题，谢谢！！！！！！！！！！！！！

单位阵用E还是用I倒是无所谓，都看的懂的，我们就用E吧
************************
幂等矩阵么就是V^2=V
移项 V^2-V=0 （注意这里的0是零矩阵，答题的时候应该是写粗体的“0”，表示是零矩阵矩阵）
两边都减去2E就是 V^2-V-2E=-2E
左边因式分解 (V+E)(V-2E)=-2E
两边除以-2就是 (V+E)(E-1/2V)=E
两个括号互为逆矩阵 (E+V)^-1=E-1/2V