下图是一顶帽子

❶ 如图，这是一顶礼帽，帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个环形，用白布做。已知帽顶的半径、高、

如图

❷ 下图是一顶帽子帽顶部分是圆柱形 那么哪种颜色的布用的最多

第12讲 圆柱与圆锥

这一讲学习与圆柱体和圆锥体有关的体积、表面积等问题。

例1 如右图所示，圆锥形容器中装有5升水，水面高度正好是圆锥高度的一半，这个容器还能装多少升水？

分析与解：本题的关键是要找出容器上半部分的体积与下半部分的关系。

这表明容器可以装8份5升水，已经装了1份，还能装水5×（8－1）=35（升）。

例2 用一块长60厘米、宽40厘米的铁皮做圆柱形水桶的侧面，另找一块铁皮做底。这样做成的铁桶的容积最大是多少？（精确到1厘米3）

分析与解：铁桶有以60厘米的边为高和以40厘米的边为高两种做法。

时桶的容积是

桶的容积是

例3 有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30分米3。现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。问：瓶内现有饮料多少立方分米？

分析与解：瓶子的形状不规则，并且不知道底面的半径，似乎无法计算。比较一下正放与倒放，因为瓶子的容积不变，装的饮料的体积不变，所以空余部分的体积应当相同。将正放与倒放的空余部分变换一下位置，可以看出饮料瓶的容积应当等于底面积不变，高为 20＋5=25（厘米）

例4 皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。皮球的直径为15厘米，水桶

中后，水桶中的水面升高了多少厘米？

解：皮球的体积是

水面升高的高度是450π÷900π＝0.5（厘米）。

答：水面升高了0.5厘米。

例5 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米（见右图）。如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？

分析与解：需要涂漆的面有圆柱体的下底面、外侧面、上面的圆环、圆孔的侧面、圆孔的底面，其中上面的圆环与圆孔的底面可以拼成一个与圆柱体的底面相同的圆。涂漆面积为

例6 将一个底面半径为20厘米、高27厘米的圆锥形铝块，和一个底面半径为30厘米、高20厘米的圆柱形铝块，熔铸成一底面半径为15厘米的圆柱形铝块，求这个圆柱形铝块的高。

解：被熔的圆锥形铝块的体积：

被熔的圆柱形铝块的体积：π×302×20=18000π（厘米3）。

熔成的圆柱形铝块的高：（3600π＋18000π）÷（π×152） =21600π÷225π=96（厘米）。

答：熔铸成的圆柱体高96厘米。

练习12

1.右图是一顶帽子。帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做。如果帽顶的半径、高与帽沿的宽都是a厘米，那么哪种颜色的布用得多？

2.一个底面直径为20厘米的圆柱形木桶里装有水，水中淹没着一个底面直径为18厘米、高为20厘米的铁质圆锥体。当圆锥体取出后，桶内水面将降低多少？

3.用直径为40厘米的圆钢锻造长300厘米、宽100厘米、厚2厘米的长方形钢板，应截取多长的一段圆钢？

容器高度的几分之几？

5.右上图是一个机器零件，其下部是棱长20厘米的正方体，上部是圆柱形的一半。求它的表面积与体积。

6.有两个盛满水的底面半径为10厘米、高为30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器内，求水深。

答案没有

❸ 下面是一顶帽子的示意图，帽子顶部是圆柱形，帽檐是一个圆环，两部分的表面积都是用同样的花布做成。已知

顶面积=πR²=1πd㎡
顶侧面积=2πR*H=4πd㎡
帽檐面积=大圆面积-校园面积=9π-π=8πd㎡
一共=13πd㎡

❹ 有一顶帽子（如图），帽顶部分是圆柱形，用花布做的，帽檐部分是一个圆环，也是用同样的花布做的，已知帽

3.14×（1+1）²=12.56平方分米；帽顶部份和帽檐部份正好拼成一个半径为2分米的圆
3.14×1×2×1=6.28平方分米；这是求帽筒
12.56+6.28=18.84平方分米；相加
答：那么做这顶帽子至少要用18.84平方分米的花布．

❺ 有一顶帽子（如下图），帽顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，也是用同样的花布做的，已知帽顶的半径、

3.14×1×2(底面周长)×1(高)+3.14×1*=9.42平方分米 3.14×(2*－1*)=9.42平方分米 9.42×2=18.84

❻ 如图是一顶帽子，帽顶部分是一个圆柱形，用红色布做，帽檐部分是一个圆环形，用金色布做。如果帽顶的直径

假设帽子顶面积为A,侧面积为B,帽檐面积为C
帽子顶面是一个直径20cm的圆形,面积为
A=π*10²=314(cm²)
侧面展开是一个长方形,长为顶圆周长,宽为帽高
B=20*π*20=1256(cm²)
帽檐为一个环形,内半径为10cm,外半径为10+20=30cm
所以面积为C=π*30²-π*10²=2512(cm²)
C-A-B=2512-1256-314=942(cm²)
所以帽檐面积大,用的金色布多,多用了942(cm²)

❼ 如图是一顶帽子．帽顶部分是圆柱形，用黑布做；帽沿部分是一个圆环，用白布做．如果帽顶的半径、高与帽沿

帽顶的面积：3.14a²+2×3.14a×a，
=3.14a²+6.28a²，
=9.42a²；
帽沿的面积：
3.14（a+a）²-3.14a²，
=3.14×4a²-3.14a²，
=12.56a²-3.14a²，
=9.42a²；
答：两种颜色的布用得一样多．
故选：C．

❽ 有一顶帽子如图帽顶部分是圆柱形用花布做的帽檐部分是一个圆环也是用同样的花布做的已知帽顶的半径高和帽

至少需要：

1²×3.14 + 1×2×3.14×1 + 【（1+1）²-1²】×3.14

=3.14+6.28+9.42

=18.84dm²

❾ 下图是一顶帽子的示意图，冒顶部分是圆柱形，帽檐部分是一个圆环，两部分的表面积都是用同样的花布做成。

解：﹙2＋2＋2﹚÷2＝3分米
3.14×3²＋3.14×2×2＝40.82平方分米。

❿ 如图是一顶帽子，其帽顶部分是圆柱形，帽沿部分是一个圆环，同样都是用花布做成的，已知帽顶的直径是两分

2+2=4分米
半径：4×1/2＝2分米
花布面积
3.14×2×2+3.14×2×1
＝12.56+6.28
＝18.84平方分米