有3顶红帽子4顶黑帽子5顶白帽子

『壹』 10人站成一列,一人一个帽子,两种颜色共10个,每人只能看到前面人的帽子,从最后一人依次往前问所戴帽子的

一共3红4黑5白,第十个人不知道的话,可推出前9个人的所有可能情况:
红 黑 白
3 3 3
3 2 4
3 1 5
2 3 4
2 2 5
1 3 5
如果第九个人不知道的话，可推出前8个人的所有可能情况：
红 黑 白
1 2 5
1 3 4
2 1 5
2 2 4
2 3 3
3 1 4
3 2 3
由此类推可知，当推倒第六个人时，会发现他已经肯定知道他自己戴的是什么颜色的帽子了．

“有3顶黑帽子，2顶白帽子。让三个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色。（所以最后一个人可以看见前面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。事实上他们三个戴的都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么？”
答案是，最前面的那个人听见后面两个人都说了“不知道”，他假设自己戴的是白帽子，于是中间那个人就看见他戴的白帽子。那么中间那个人会作如下推理：“假设我戴了白帽子，那么最后那个人就会看见前面两顶白帽子，但总共只有两顶白帽子，他就应该明白他自己戴的是黑帽子，现在他说不知道，就说明我戴了白帽子这个假定是错的，所以我戴了黑帽子。”问题是中间那人也说不知道，所以最前面那个人知道自己戴白帽子的假定是错的，所以他推断出自己戴了黑帽子。
我们把这个问题推广成如下的形式：
“有若干种颜色的帽子，每种若干顶。假设有若干个人从前到后站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，而且每个人都看得见在他前面所有人头上帽子的颜色，却看不见在他后面任何人头上帽子的颜色。现在从最后那个人开始，
问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。一直往前问，那么一定有一个人知道自己所戴的帽子颜色。”
当然要假设一些条件：
1)首先，帽子的总数一定要大于人数，否则帽子都不够戴。
2)“有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人”这个信息是队列中所有人都事先知道的，而且所有人都知道所有人都知道此事，所有人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等。但在这个条件中的“若干”不一定非要具体一一给出数字来。
这个信息具体地可以是象上面经典的形式，列举出每种颜色帽子的数目“有3顶黑帽子，2顶白帽子，3个人”，也可以是“有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人”，甚至连具体人数也可以不知道，“有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1”，这时候那个排在最后的人并不知道自己排在最后——直到开始问他时发现在他回答前没有别人被问到，他才知道他在最后。在这个帖子接下去的部分当我出题的时候我将只写出“有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人”这个预设条件，因为这部分确定了，题目也就确定了。
3)剩下的没有戴在大家头上的帽子当然都被藏起来了，队伍里的人谁都不知道都剩下些什么帽子。
4)所有人都不是色盲，不但不是，而且只要两种颜色不同，他们就能分别出来。当然他们的视力也很好，能看到前方任意远的地方。他们极其聪明，逻辑推理是极好的。总而言之，只要理论上根据逻辑推导得出来，他们就一定推导得出来。相反地如果他们推不出自己头上帽子的颜色，任何人都不会试图去猜或者作弊偷看——不知为不知。
5)后面的人不能和前面的人说悄悄话或者打暗号。
当然，不是所有的预设条件都能给出一个合理的题目。比如有99顶黑帽子，99顶白帽子，2个人，无论怎么戴，都不可能有人知道自己头上帽子的颜色。另外，只要不是只有一种颜色的帽子，在只由一个人组成的队伍里，这个人也是不可能说出自己帽子的颜色的。
但是下面这几题是合理的题目：
1)3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，10个人。
2)3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，8个人。
3)n顶黑帽子，n-1顶白帽子，n个人（n>0）。
4)1顶颜色1的帽子，2顶颜色2的帽子，……，99顶颜色99的帽子，100顶颜色100的帽子，共5000个人。
5)有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人。
6)有不知多少人（至少两人）排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1。
大家可以先不看我下面的分析，试着做做这几题。
如果按照上面3顶黑帽2顶白帽时的推理方法去做，那么10个人就可以把我们累死，别说5000个人了。但是3)中的n是个抽象的数，考虑一下怎么解决这个问题，对解决一般的问题大有好处。
假设现在n个人都已经戴好了帽子，问排在最后的那一个人他头上的帽子是什么颜色，什么时候他会回答“知道”？很显然，只有在他看见前面n-1个人都戴着白帽时才可能，因为这时所有的n-1顶白帽都已用光，在他自己的脑袋上只能顶着黑帽子，只要前面有一顶黑帽子，那么他就无法排除自己头上是黑帽子的可能——即使他看见前面所有人都是黑帽，他还是有可能戴着第n顶黑帽。
现在假设最后那个人的回答是“不知道”，那么轮到问倒数第二人。根据最后面那位的回答，他能推断出什么呢？如果他看见的都是白帽，那么他立刻可以推断出自己戴的是黑帽——要是他也戴着白帽，那么最后那人应该看见一片白帽，问到他时他就该回答“知道”了。但是如果倒数第二人看见前面至少有一顶黑帽，他就无法作出判断——他有可能戴着白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人无法回答“知道”；他自然也有可能戴着黑帽。
这样的推理可以继续下去，但是我们已经看出了苗头。最后那个人可以回答“知道”当且仅当他看见的全是白帽，所以他回答“不知道”当且仅当他至少看见了一顶黑帽。这就是所有帽子颜色问题的关键！
如果最后一个人回答“不知道”，那么他至少看见了一顶黑帽，所以如果倒数第二人看见的都是白帽，那么最后那个人看见的至少一顶黑帽在哪里呢？不会在别处，只能在倒数第二人自己的头上。这样的推理继续下去，对于队列中的每一个人来说就成了：
“在我后面的所有人都看见了至少一顶黑帽，否则的话他们就会按照相同的判断断定自己戴的是黑帽，所以如果我看见前面的人戴的全是白帽的话，我头上一定戴着我身后那个人看见的那顶黑帽。”
我们知道最前面的那个人什么帽子都看不见，就不用说看见黑帽了，所以如果他身后的所有人都回答说“不知道”，那么按照上面的推理，他可以确定自己戴的是黑帽，因为他身后的人必定看见了一顶黑帽——只能是第一个人他自己头上的那顶。事实上很明显，第一个说出自己头上是什么颜色帽子的那个人，就是从队首数起的第一个戴黑帽子的人，也就是那个从队尾数起第一个看见前面所有人都戴白帽子的人。
这样的推理也许让人觉得有点循环论证的味道，因为上面那段推理中包含了“如果别人也使用相同的推理”这样的意思，在逻辑上这样的自指式命题有点危险。但是其实这里没有循环论证，这是类似数学归纳法的推理，每个人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而对于最后一个人来说，他的身后没有人，所以他的推理不依赖于其他人的推理就可以成立，是归纳中的第一个推理。稍微思考一下，我们就可以把上面的论证改得适合于任何多种颜色的推论：
“如果我们可以从假设断定某种颜色的帽子一定会在队列中出现，从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就立刻可以根据和此论证相同的论证来作出判断，他戴的是这种颜色的帽子。现在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后的人也看见了此种颜色的帽子。如果在我前面我见不到此颜色的帽子，那么一定是我戴着这种颜色的帽子。”
当然第一个人的初始推理相当简单：“队列中一定有人戴这种颜色的帽子，现在我看不见前面有人戴这颜色的帽子，那它只能是戴在我的头上了。”
对于题1)事情就变得很明显，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给10个人戴，队列中每种颜色至少都该有一顶，于是从队尾数起第一个看不见某种颜色的帽子的人就能够断定他自己戴着这种颜色的帽子，通过这点我们也可以看到，最多问到从队首数起的第三人时，就应该有人回答“知道”了，因为从队首数起的第三人最多只能看见两顶帽子，所以最多看见两种颜色，如果他后面的人都回答“不知道”，那么他前面一定有两种颜色的帽子，而他头上戴的一定是他看不见的那种颜色的帽子。
题2)也一样，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给8个人戴，那么队列中一定至少有一顶白帽子，因为其它颜色加起来一共才7顶，所以队列中一定会有人回答“知道”。
题4)的规模大了一点，但是道理和2)完全一样。100种颜色的5050顶帽子给5000人戴，前面99种颜色的帽子数量是1 …… 99=4950，所以队列中一定有第100种颜色的帽子（至少有50顶），所以如果自己身后的人都回答“不知道”，那么那个看不见颜色100帽子的人就可以断定自己戴着这种颜色的帽子。
至于5)、6)“有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是几顶，有6个人”以及“有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1”，原理完全相同，我就不具体分析了。
最后要指出的一点是，上面我们只是论证了，如果我们可以根据各种颜色帽子的数量和队列中的人数判断出在队列中至少有一顶某种颜色的帽子，那么一定有一人可以判断出自己头上的帽子的颜色。因为如果所有身后的人都回答“不知道”的话，那个从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就可以判断自己戴了此颜色的帽子。但是这并不是说在询问中一定是由他来回答“知道”的，因为还可能有其他的方法来判断自己头上帽子的颜色。比如说在题2)中，如果队列如下：（箭头表示队列中人脸朝的方向）
白白黑黑黑黑红红红白→
那么在队尾第一人就立刻可以回答他头上的是白帽，因为他看见了所有的3顶红帽子和4顶黑帽子，能留给他自己戴的只能是白帽子了

『贰』 3顶红帽子 4顶黑帽子 5顶白帽子

你的推理正确，第6个人一定知道自己帽子颜色。

第10个人不知道，说明前面红黑白都有，现在推出前9个中红黑白分别最少有几顶。
3红4黑5白分别最多减2顶（因为减3顶就知道自己的颜色是减掉的那一种），所以最少有1红2黑3白。这6顶中少了哪种颜色，第6个人就知道自己是这种颜色。

『叁』 有3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽

因为要想使最后面的那个人不知道自己是什么颜色的帽子,只有将三种颜色的帽子都留出一个,但是5-1=4 4-1=3 3-1=2 4+3+2=9 最后一个人只能从三种颜色中随便选一个,所以他才说不知道,第9个人肯定自己的帽子颜色是黑的,那是因为前面的8个人的帽子的颜色是3顶红帽子,5顶白帽子,那样就只剩下黑帽子了.

『肆』 有3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子。让...

问题中有错误。第一个人戴的必然是红帽子！因为，最后一人一定看到前面有人戴红帽子，否则他会知道自己一定戴的是红帽子。第9人根据后面的人回答不知道，可以推断后面的人肯定看到前面有人戴红帽子。第9人回答不知道，证明他前面也有人戴红帽子。以此类推，第8人、第7人、第6人……一直到第2人，他们都在前面看到了红帽子。最前面的人据此判断：自己戴的是红帽子。

『伍』 有3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子。......。假设最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么

1）分析第10个人的情况。
第10个人说不知道，那么说明前面9个人不可能出现红3黑4，红3白5，黑4白5的情况，即三种颜色的球，不可能两种全部出现，不然的话，第10个人马上可以知道自己是剩下来的那种颜色。
那么，前面9个人，只可能是红2黑3白4，红3黑2白4，红3黑3白3，红2黑4白3，红2黑4白3，红1黑4白4，红1黑3白5，红2黑2白5这7种情况。

（2）分析第9个人的情况。
前面7种情况，每种情况可以分为3种，比如红2黑3白4，第9个人是红的情况，那么其他8个人就是红1黑3白4；如果第9个人是黑，那么前面8个人就是红2黑2白4；如果第9个人是白，那么前面8个人就是红2黑3白3。然后对于7种情况都进行这样的操作，那么理论上就是7*3=21种情况。但很快会发现，红1黑4白4和红1黑3白5的场合，第9个人不可能是红色的，因为如果他是红色的，那么他马上就可以推断出自己不可能是黑或者白（不然第10个人不会说不知道），所以说，当他看到前面8个人是黑4白4或者黑3白5后，马上可以知道是红色的。现在题目要求是他不知道自己的颜色，所以，红1黑4白4只可能推出红1黑4白3或者红1黑3白4，同理，红1黑3白5只可能推出红1黑2白5或者红1黑3白4。因此，在第9个人说不知道的情况下，前面8个人只可能内是红1黑3白4，红2黑2白4，红2黑3白3，红3黑1白4，红3黑2白3，红3黑3白2，红1黑4白3，红2黑4白2，红1黑2白5，红2黑1白5，这10种情况（很多相同的情况都合并掉了。）

（3）分析第8个人的情况，第8个人同样道理，如果要让他说不知道，那么红1黑3白4的时候，他不可能是那个唯一的红；红3黑1白4的时候，他不可能是唯一的那个黑；红1黑4白3的时候，他不可能是唯一的那个红；红2黑1白5的时候，他不可能是唯一的那个黑。

（4）分析第7个人的情况。
同样道理，在第8，，9，10都不知道自己的颜色的情况下，7个人的场合，只可能是红1黑2白4，红1黑3白3，红2黑1白4，红2黑2白3，红2黑3白2，红3黑1白3，红3黑3白1，红1黑4白2，红1黑1白5，这9种情况。

（5）现在规律很明显了，通俗地讲，每次到1就停住不再相减了，那么最后必然会收拢到红1黑1白1的场合，也就是说，第1，2，3个人，必然是红，黑，白各1个，如果不是这个样子的话，那么后面4-10个人，肯定会有人能推理出自己帽子的颜色。第3个人，只要看第1个人，第2个人帽子的颜色，就会知道自己帽子的颜色，然后假设他说出来了，第2个人听到第3个人帽子的颜色，再看到第1个人的帽子，就能知道自己帽子的颜色，也假设他说出来，那么第1个人就可以知道自己帽子是什么颜色的了。想要他是黑的，那么2，3必定是1红1白。
整个10个人可能是这样的。
黑红白 黑红白 黑红白 黑或白
黑白红 黑白红 黑白红 黑或白

『陆』 逻辑问题

【61】你有两个罐子，50个红色弹球，50个蓝色弹球，随机选出一个罐子，随机选取出一个弹球放入罐子，怎么给红色弹球最大的选中机会？在你的计划中，得到红球的准确几率是多少？74/99

一个罐子放1个红的，另一个放剩下的，几率为50%×1+50%×49/99=75%

【62】你有四个装药丸的罐子，每个药丸都有一定的重量，被污染的药丸是没被污染的重量＋1.只称量一次，如何判断哪个罐子的药被污染了？

四个罐子分别取0、1、2、3个，若与4×每罐原重相等就是不取的那个被污染了，反之就是多几就是取几颗的罐子污染了。

【63】对一批编号为1～100，全部开关朝上(开)的灯进行以下*作：凡是1的倍数反方向拨一次开关；2的倍数反方向又拨一次开关；3的倍数反方向又拨一次开关……问：最后为关熄状态的灯的编号。

凡是平方数就是关的，不是就开着，1、4、9、16、25、36、49、64、81、100关着，这个很难解释清楚，不懂找我。

【64】想象你在镜子前，请问，为什么镜子中的影像可以颠倒左右，却不能颠倒上下？

人眼是分左右的，而不是一上一下的

【65】一群人开舞会，每人头上都戴着一顶帽子。帽子只有黑白两种，黑的至少有一顶。每个人都能看到其它人帽子的颜色，却看不到自己的。主持人先让大家看看别人头上戴的是什幺帽子，然后关灯，如果有人认为自己戴的是黑帽子，就打自己一个耳光。第一次关灯，没有声音。于是再开灯，大家再看一遍，关灯时仍然鸦雀无声。一直到第三次关灯，才有劈劈啪啪打耳光的声音响起。问有多少人戴着黑帽子？

大家都是黑的，因为甲看到乙、丙都是黑的，想：“如果自己是白的，乙会说：‘丙是黑的，甲是白的，丙会根据这判断出自己是黑的，而他在沉默，所以我是黑的。’而乙也在沉默所以我是黑的。”乙丙也这么想。

【68】有3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子。让10个人从矮到高站成一队，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却只能看见站在前面那些人的帽子颜色。（所以最后一个人可以看见前面9个人头上帽子的颜色，而最前面那个人谁的帽子都看不见。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。假设最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什么？

这我不会

【69】假设排列着100个乒乓球，由两个人轮流拿球装入口袋，能拿到第100个乒乓球的人为胜利者。条件是：每次拿球者至少要拿1个，但最多不能超过5个，问：如果你是最先拿球的人，你该拿几个？以后怎么拿就能保证你能得到第100个乒乓球？

我拿4个（1、2、3、4号），剩下的96个，他不管拿几个，我就拿到6个（我和他这轮拿的加起来为6）。这样我拿到第10号不成问题，因为他最多拿5号到9号，这样我能拿到10、16、22、28、34、40、46、52、58、64、70、76、82、88、94、100号。

【70】卢姆教授说：“有一次我目击了两只山羊的一场殊死决斗，结果引出了一个有趣的数学问题。我的一位邻居有一只山羊，重54磅，它已有好几个季度在附近山区称王称霸。后来某个好事之徒引进了一只新的山羊，比它还要重出3磅。开始时，它们相安无事，彼此和谐相处。可是有一天，较轻的那只山羊站在陡峭的山路顶上，向它的竞争对手猛扑过去，那对手站在土丘上迎接挑战，而挑战者显然拥有居高临下的优势。不幸的是，由于猛烈碰撞，两只山羊都一命呜呼了。

现在要讲一讲本题的奇妙之处。对饲养山羊颇有研究，还写过书的乔治．阿伯克龙比说道：“通过反复实验，我发现，动量相当于一个自20英尺高处坠落下来的30磅重物的一次撞击，正好可以打碎山羊的脑壳，致它死命。”如果他说得不错，那么这两只山羊至少要有多大的逼近速度，才能相互撞破脑壳？你能算出来吗？

什么叫逼近速度，这跟提有关吗

【72】已知：每个飞机只有一个油箱，飞机之间可以相互加油（注意是相互，没有加油机）一箱油可供一架飞机绕地球飞半圈，问题：为使至少一架飞机绕地球一圈回到起飞时的飞机场，至少需要出动几架飞机？（所有飞机从同一机场起飞，而且必须安全返回机场，不允许中途降落，中间没有飞机场）

3架

甲乙丙同时出发，到8分之1圈时，丙给甲乙各1/4油，使他们加满，自己的1/4油供自己返回。到1/4圈时，乙给甲1/4油，自己的1/2供自己返回。甲继续向前飞。乙到加油站时丙就出发，在3/4圈时甲油箱空，丙甲相遇，丙给甲1/4油，一起向前飞，7/8圈时丙甲油箱空，碰到了乙，把3/4箱油平分后正好用完到站。

【73】在9个点上画10条直线，要求每条直线上至少有三个点？

我知道，到我空间里找

【74】一个岔路口分别通向诚实国和说谎国。来了两个人，已知一个是诚实国的，另一个是说谎国的。诚实国永远说实话，说谎国永远说谎话。现在你要去说谎国，但不知道应该走哪条路，需要问这两个人。请问应该怎么问？

随便问哪一个一句话：我想去诚实国，你的伙伴会指哪条路？照着这条路走即可。

【75】在一天的24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？都分别是什么时间？你怎样算出来的？

2次

正午12点和0点，很简单，在分针时针相遇时，秒针在其他时间都在别处，等他赶上了，分针又离时针远去了

『柒』 数奥题脑经急转弯

这是我最早听说的趣味逻辑题之一，是很小的时候父亲告诉我的：

“有3顶黑帽子，2顶白帽子。让三个人从前到后站成一排，给他
们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的帽子的颜色，却
只能看见站在前面那些人的帽子颜色。（所以最后一个人可以看见前
面两个人头上帽子的颜色，中间那个人看得见前面那个人的帽子颜色
但看不见在他后面那个人的帽子颜色，而最前面那个人谁的帽子都看
不见。现在从最后那个人开始，问他是不是知道自己戴的帽子颜色，
如果他回答说不知道，就继续问他前面那个人。事实上他们三个戴的
都是黑帽子，那么最前面那个人一定会知道自己戴的是黑帽子。为什
么？”

答案是，最前面的那个人听见后面两个人都说了“不知道”，他
假设自己戴的是白帽子，于是中间那个人就看见他戴的白帽子。那么
中间那个人会作如下推理：“假设我戴了白帽子，那么最后那个人就
会看见前面两顶白帽子，但总共只有两顶白帽子，他就应该明白他自
己戴的是黑帽子，现在他说不知道，就说明我戴了白帽子这个假定是
错的，所以我戴了黑帽子。”问题是中间那人也说不知道，所以最前
面那个人知道自己戴白帽子的假定是错的，所以他推断出自己戴了黑
帽子。

我们把这个问题推广成如下的形式：

“有若干种颜色的帽子，每种若干顶。假设有若干个人从前到后
站成一排，给他们每个人头上戴一顶帽子。每个人都看不见自己戴的
帽子的颜色，而且每个人都看得见在他前面所有人头上帽子的颜色，
却看不见在他后面任何人头上帽子的颜色。现在从最后那个人开始，
问他是不是知道自己戴的帽子颜色，如果他回答说不知道，就继续问
他前面那个人。一直往前问，那么一定有一个人知道自己所戴的帽子
颜色。”

当然要假设一些条件：

1)首先，帽子的总数一定要大于人数，否则帽子都不够戴。
2)“有若干种颜色的帽子，每种若干顶，有若干人”这个信息是队列
中所有人都事先知道的，而且所有人都知道所有人都知道此事，所有
人都知道所有人都知道所有人都知道此事，等等等等。但在这个条件
中的“若干”不一定非要具体一一给出数字来。这个信息具体地可以是
象上面经典的形式，列举出每种颜色帽子的数目

“有3顶黑帽子，2顶白帽子，3个人”，

也可以是

“有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不
知道哪种颜色是几顶，有6个人”，

甚至连具体人数也可以不知道，

“有不知多少人排成一排，有黑白两种帽子，每种帽
子的数目都比人数少1”，

这时候那个排在最后的人并不知道自己排在最后——直到开始问他时
发现在他回答前没有别人被问到，他才知道他在最后。在这个帖子接
下去的部分当我出题的时候我将只写出“有若干种颜色的帽子，每种
若干顶，有若干人”这个预设条件，因为这部分确定了，题目也就确
定了。
3)剩下的没有戴在大家头上的帽子当然都被藏起来了，队伍里的人谁
都不知道都剩下些什么帽子。
4)所有人都不是色盲，不但不是，而且只要两种颜色不同，他们就能
分别出来。当然他们的视力也很好，能看到前方任意远的地方。他们
极其聪明，逻辑推理是极好的。总而言之，只要理论上根据逻辑推导
得出来，他们就一定推导得出来。相反地如果他们推不出自己头上帽
子的颜色，任何人都不会试图去猜或者作弊偷看——不知为不知。
5)后面的人不能和前面的人说悄悄话或者打暗号。

当然，不是所有的预设条件都能给出一个合理的题目。比如有99
顶黑帽子，99顶白帽子，2个人，无论怎么戴，都不可能有人知道自
己头上帽子的颜色。另外，只要不是只有一种颜色的帽子，在只由一
个人组成的队伍里，这个人也是不可能说出自己帽子的颜色的。

但是下面这几题是合理的题目：

1)3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，10个人。
2)3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子，8个人。
3)n顶黑帽子，n-1顶白帽子，n个人（n>0）。
4)1顶颜色1的帽子，2顶颜色2的帽子，……，99顶颜色99的帽子，
100顶颜色100的帽子，共5000个人。
5)有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不知道哪种颜色是
几顶，有6个人。
6)有不知多少人（至少两人）排成一排，有黑白两种帽子，每种帽子
的数目都比人数少1。

大家可以先不看我下面的分析，试着做做这几题。

如果按照上面3顶黑帽2顶白帽时的推理方法去做，那么10个人就
可以把我们累死，别说5000个人了。但是3)中的n是个抽象的数，考
虑一下怎么解决这个问题，对解决一般的问题大有好处。

假设现在n个人都已经戴好了帽子，问排在最后的那一个人他头
上的帽子是什么颜色，什么时候他会回答“知道”？很显然，只有在
他看见前面n-1个人都戴着白帽时才可能，因为这时所有的n-1顶白
帽都已用光，在他自己的脑袋上只能顶着黑帽子，只要前面有一顶黑
帽子，那么他就无法排除自己头上是黑帽子的可能——即使他看见前
面所有人都是黑帽，他还是有可能戴着第n顶黑帽。

现在假设最后那个人的回答是“不知道”，那么轮到问倒数第二
人。根据最后面那位的回答，他能推断出什么呢？如果他看见的都是
白帽，那么他立刻可以推断出自己戴的是黑帽——要是他也戴着白帽，
那么最后那人应该看见一片白帽，问到他时他就该回答“知道”了。
但是如果倒数第二人看见前面至少有一顶黑帽，他就无法作出判断
——他有可能戴着白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人无法回
答“知道”；他自然也有可能戴着黑帽。

这样的推理可以继续下去，但是我们已经看出了苗头。最后那个
人可以回答“知道”当且仅当他看见的全是白帽，所以他回答“不知
道”当且仅当他至少看见了一顶黑帽。这就是所有帽子颜色问题的关
键！

如果最后一个人回答“不知道”，那么他至少看见了一顶黑帽，
所以如果倒数第二人看见的都是白帽，那么最后那个人看见的至少一
顶黑帽在哪里呢？不会在别处，只能在倒数第二人自己的头上。这样
的推理继续下去，对于队列中的每一个人来说就成了：

“在我后面的所有人都看见了至少一顶黑帽，否则的话他们
就会按照相同的判断断定自己戴的是黑帽，所以如果我看见
前面的人戴的全是白帽的话，我头上一定戴着我身后那个人
看见的那顶黑帽。”

我们知道最前面的那个人什么帽子都看不见，就不用说看见黑帽
了，所以如果他身后的所有人都回答说“不知道”，那么按照上面的
推理，他可以确定自己戴的是黑帽，因为他身后的人必定看见了一顶
黑帽——只能是第一个人他自己头上的那顶。事实上很明显，第一个
说出自己头上是什么颜色帽子的那个人，就是从队首数起的第一个戴
黑帽子的人，也就是那个从队尾数起第一个看见前面所有人都戴白帽
子的人。

这样的推理也许让人觉得有点循环论证的味道，因为上面那段推
理中包含了“如果别人也使用相同的推理”这样的意思，在逻辑上这
样的自指式命题有点危险。但是其实这里没有循环论证，这是类似数
学归纳法的推理，每个人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而
对于最后一个人来说，他的身后没有人，所以他的推理不依赖于其他
人的推理就可以成立，是归纳中的第一个推理。稍微思考一下，我们
就可以把上面的论证改得适合于任何多种颜色的推论：

“如果我们可以从假设断定某种颜色的帽子一定会在队列中
出现，从队尾数起第一个看不见这种颜色的帽子的人就立刻
可以根据和此论证相同的论证来作出判断，他戴的是这种颜
色的帽子。现在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后
的人也看见了此种颜色的帽子。如果在我前面我见不到此颜
色的帽子，那么一定是我戴着这种颜色的帽子。”

当然第一个人的初始推理相当简单：“队列中一定有人戴这种颜色的
帽子，现在我看不见前面有人戴这颜色的帽子，那它只能是戴在我的
头上了。”

对于题1)事情就变得很明显，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽
子给10个人戴，队列中每种颜色至少都该有一顶，于是从队尾数起第
一个看不见某种颜色的帽子的人就能够断定他自己戴着这种颜色的帽
子，通过这点我们也可以看到，最多问到从队首数起的第三人时，就
应该有人回答“知道”了，因为从队首数起的第三人最多只能看见两
顶帽子，所以最多看见两种颜色，如果他后面的人都回答“不知道”，
那么他前面一定有两种颜色的帽子，而他头上戴的一定是他看不见的
那种颜色的帽子。

题2)也一样，3顶红帽子，4顶黑帽子，5顶白帽子给8个人戴，
那么队列中一定至少有一顶白帽子，因为其它颜色加起来一共才7顶，
所以队列中一定会有人回答“知道”。

题4)的规模大了一点，但是道理和2)完全一样。100种颜色的5050
顶帽子给5000人戴，前面99种颜色的帽子数量是1+……+99=4950，
所以队列中一定有第100种颜色的帽子（至少有50顶），所以如果自
己身后的人都回答“不知道”，那么那个看不见颜色100帽子的人就
可以断定自己戴着这种颜色的帽子。

至于5)、6)“有红黄绿三种颜色的帽子各1顶2顶3顶，但具体不
知道哪种颜色是几顶，有6个人”以及“有不知多少人排成一排，有
黑白两种帽子，每种帽子的数目都比人数少1”，原理完全相同，我
就不具体分析了。

最后要指出的一点是，上面我们只是论证了，如果我们可以根据
各种颜色帽子的数量和队列中的人数判断出在队列中至少有一顶某种
颜色的帽子，那么一定有一人可以判断出自己头上的帽子的颜色。因
为如果所有身后的人都回答“不知道”的话，那个从队尾数起第一个
看不见这种颜色的帽子的人就可以判断自己戴了此颜色的帽子。但是
这并不是说在询问中一定是由他来回答“知道”的，因为还可能有其
他的方法来判断自己头上帽子的颜色。比如说在题2)中，如果队列
如下：（箭头表示队列中人脸朝的方向）

白白黑黑黑黑红红红白→

那么在队尾第一人就立刻可以回答他头上的是白帽，因为他看见了所
有的3顶红帽子和4顶黑帽子，能留给他自己戴的只能是白帽子了