帽子矩陣是冪等矩陣的證明

『壹』 冪等矩陣的跡等於冪等矩陣的秩的證明

設n階冪等A特徵值為t，對應特徵向量為x，秩R(A)=r
Ax=tx A^2x=tAx=t^2x=tx t^2-t=0 t=1或0
若r=n A有n個不為零的特徵值 t=1 矩陣的跡=所有特徵值之和=n*1=n=r
若r<n A有r個不為零的特徵值,n-r個為零的特徵值 其中不為零的特徵值取t=1
矩陣的跡=所有特徵值之和=r*1+(n-r)*0=r
綜上所訴，證畢。

『貳』 如何證明冪等矩陣一定可以對角化

A2=A 可以x2-x=0看做A的一個零化多項式，再由無重根就可得到該矩陣可對角化。

冪等矩陣的運算方法：

1）設 A₁，A₂都是冪等矩陣，則(A₁+A₂) 為冪等矩陣的充分必要條件為：A₁·A₂ =A₂·A₁=0，且有：R(A₁+A₂) =R (A₁) ⊕R (A₂)；N(A₁+A₂) =N(A₁)∩N(A₂)；

2）設 A₁， A₂都是冪等矩陣，則(A₁-A₂) 為冪等矩陣的充分必要條件為：A₁·A₂=A₂·A₁=A₂，且有：R(A₁-A₂) =R(A₁)∩N (A₂)；N (A₁- A₂) =N (A₁)⊕R (A₂)；

3）設 A₁，A₂都是冪等矩陣，若A₁·A₂=A₂·A₁，則A₁·A₂為冪等矩陣，且有：R (A₁·A₂) =R(A₁) ∩R (A₂)；N (A₁·A₂) =N (A₁) +N (A₂)。

(2)帽子矩陣是冪等矩陣的證明擴展閱讀：

冪等矩陣的其他性質：

1.冪等矩陣的特徵值只可能是0，1；

2.冪等矩陣可對角化；

3.冪等矩陣的跡等於冪等矩陣的秩，即tr(A)=rank(A)；

4.可逆的冪等矩陣為E；

5.方陣零矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣；

6.冪等矩陣A滿足：A(E-A)=(E-A)A=0；

7.冪等矩陣A：Ax=x的充要條件是x∈R(A)；

8.A的核N(A)等於(E-A)的列空間R(E-A),且N(E-A)=R(A)。

『叄』 如何證明冪等矩陣可相似對角化

證明冪等矩陣可相似對角化：n級矩陣A可對角化＜=＞A的屬於不同特徵值的特徵子空間維數之和為n。

先求特徵值，如果沒有相重的特徵值，一定可對角化；設A₁，A₂都是冪等矩陣，則（A₁+A₂）為冪等矩陣的充分必要條件為：A₁·A₂=A₂·A₁=0，且有：R（A₁+A₂）=R（A₁）⊕R（A₂）；N（A₁+A₂）=N（A₁）∩N（A₂）。

性質

冪等矩陣的主要性質：

1、冪等矩陣的特徵值只可能是0，1。

2、冪等矩陣可對角化。

3、冪等矩陣的跡等於冪等矩陣的秩，即tr(A)=rank(A)。

4、可逆的冪等矩陣為E。

5、方陣零矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣。

『肆』 帽子矩陣具體形式是什麼 百度百科

帽子矩陣又叫帽變換又叫K-T變換（Kautlr-Thomas Transformation）穗帽變換是指根據經驗確定的變換矩陣將圖像投影綜合變換到三維空間，其立體形態形似帶纓穗的帽子，變換後能看到穗帽的最大剖面，充分反映植物生長枯萎程度、土地信息變化，大氣散射物理影響和其它景物變化程度的一種線性特徵變換的圖像處理方法。穗帽變換（又稱KT變換）是一種特殊的主成分分析，和主成分分析不同的是其轉換系數是固定的，因此它獨立於單個圖像，不同圖像產生的土壤亮度和綠度可以互相比較。隨著植被生長，在綠度圖像上的信息增強，土壤亮度上的信息減弱，當植物成熟和逐漸凋落時，其在綠度圖像特徵減少，在黃度上的信息增強。這種解釋可以應用於不同區域上的不同植被和作物，但穗帽變換無法包含一些不是綠色的植被和不同的土壤類型的信息。總體上穗帽變換能夠較好的分離土壤和植被。他的一個缺點是她依賴於感測器（主要是波段），因此其轉換系數對每種遙感器是不同的。

『伍』 怎麼證明冪等矩陣（A^2=A）的特徵值只能為0或1

具體回答如圖：

若A為方陣，且A²=A，則A稱為冪等矩陣。例如，某行全為1而其他行全為0的方陣是冪等矩陣。實際上，由Jordan標准型易知，所有冪等矩陣都相似於對角元全為0或1的對角陣。

(5)帽子矩陣是冪等矩陣的證明擴展閱讀：

如將特徵值的取值擴展到復數領域，則一個廣義特徵值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B為矩陣。其廣義特徵值（第二種意義）λ 可以通過求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）構成形如A-λB的矩陣的集合。

若A是冪等矩陣，則與A相似的任意矩陣是冪等矩陣；若A是冪等矩陣，則A的AH、AT、A*、E-AH、E-AT都是冪等矩陣。

若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定。反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值。

『陸』 帽子矩陣的跡為什麼是p+1

帽子矩陣Hat matrix
帽子矩陣是回歸分析中根據數據計算得到一個矩陣. 設線性回歸模型的數據矩陣為, 那麼稱下列矩陣
為帽子矩陣; 其中為矩陣的轉置矩陣. 容易驗證, 帽子矩陣為一個投影矩陣.
If z is any n× 1 vector, and H is a
hat matrix, then
z = Hz + (I − H)z = z1+ z2,
say, where z1⊥ z2. The first is in col(X)
and the second is in the space of vec-
tors orthogonal to every vector in col(X). We
write z2∈ col(X)⊥. You should verify that
this is a vector space (i.e. is closed under ad-
dition and scalar multiplication).

『柒』 如果方陣A^2=A,則稱A是冪等矩陣，設A、B均為冪等矩陣，證明:A+B是冪等矩陣的充要條

因為A，B是冪等的
若AB=-BA
(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A+B
故A+B是冪等的

若A+B是冪等的
A+B=(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=A+B+AB+BA
故AB+BA=0
命題成立

『捌』 什麼是帽子矩陣（hat matrix）

對於線性模型Y=Xβ+e,E(e)=0,cov(e)=σ2I，矩陣H≙...X（XTX）-1XT是將觀測向量Y正交投影到由X的列向量所生成的子空間上的投影矩陣。Y^＝HY，習慣上稱H為帽子矩陣。

『玖』 試證:如果A是冪等矩陣,即A^2=A,則秩(A) 秩(A-E)=n

你好！可以引用兩個關於秩的定理如圖證明。經濟數學團隊幫你解答，請及時採納。謝謝！

『拾』 冪等矩陣證明題，謝謝！！！！！！！！！！！！！

單位陣用E還是用I倒是無所謂，都看的懂的，我們就用E吧
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冪等矩陣么就是V^2=V
移項 V^2-V=0 （注意這里的0是零矩陣，答題的時候應該是寫粗體的「0」，表示是零矩陣矩陣）
兩邊都減去2E就是 V^2-V-2E=-2E
左邊因式分解 (V+E)(V-2E)=-2E
兩邊除以-2就是 (V+E)(E-1/2V)=E
兩個括弧互為逆矩陣 (E+V)^-1=E-1/2V